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2001 Odisseia no Espaço: a Estação Espacial

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Stanley Kubrick estreou o filme “2001 A Space Odyssey” a 2 de abril de 1968, com um futurismo recheado de emoções de coisas da época, mas também impregnado duma estética estonteante. Veja-se a nave dançar em sintonia com a Estação Espacial, no compasso ternário do “Danúbio Azul”: fica-se estarrecido com tamanha beleza que até nos apaixonamos pela frieza dum espaço agreste e incólume, onde não se pode viver.

O filme contém ficção pura e dura mas, por outro lado, tem facetas de boa ciência; terá sido o primeiro filme a tratar bem as coisas do Espaço. Mas esta história tem raízes noutros lados. A NASA tinha o programa Apollo a decorrer desde 1963, para irem à Lua com homens. A 21-dez-68 é lançada a Apollo 8, a primeira que orbita a Lua e a fotografa em detalhe, em preparação da alunagem da Apollo 11 a 20-jul-1969. O povo dos USA vivia e vibrava nestes grandes momentos, enquanto se criava o imaginário espacial.

Desenho de Chelsey Bonestell no artigo de Wernher von Braun na Retro-Futurism (3-1952, pg. 25)

Wernher von Braun tinha sido engenheiro das bombas voadoras V2 e foi capturado pelo exército americano no final da II Guerra Mundial, na Alemanha. Comandava o programa de desenvolvimento dos foguetões da NASA e na década de 1950 defende a exploração do espaço. Num artigo seu na revista Retro-Futurism (mar/1952), escreve que em dez ou quinze anos a NASA poderia colocar esta Estação Espacial a orbitar o planeta, a 1730 km de altitude (com 76 m de diâmetro), para garantir a paz e unir os povos. E porquê? É que faz falta uma força igual à “gravítica” para manter a saúde do ser humano no espaço.

A rotação da Estação Espacial e o “2001 Odisseia no Espaço“

O cálcio no corpo humano apenas se fixa ao tecido ósseo porque estamos sujeitos a uma aceleração gravítica de \(g=9,\!8\rm\ m/s^2\). Assim, quem está na ISS (International Space Station) sofre osteoporose acelerada. O mesmo acontece a bordo do Millennium Falcon ou cruzador Imperial (Star Wars) e na Enterprise (Star Trek). A solução é criar uma força centrífuga que pressione o corpo contra o chão, o qual responde no corpo com uma força centrípeta igual à gravítica terrestre. É disso que o nosso corpo precisa.

As contas são simples. A aceleração centrípeta num movimento circular e uniforme de raio \(R\) e velocidade angular \(\omega\) é calculada por: \(a_c=g=R\omega^2 \Rightarrow \omega=\sqrt{g/R}\). Para \(R=38\rm m\) (von Braun) obtém-se \(\omega=29,\!6\rm^o/s = 4,\!9\ rpm\). Parece bom? a velocidade linear nesta zona é de 68 km/h, ou seja, não se pode chegar lá e agarrar com as mãos.

No filme 2001 estimo que a Estação Espacial tenha \(R\approx100\rm\ m\) o que dá a velocidade angular \(\omega=17,\!9\rm^o/s = 3\ rpm\) o que permite viver bem. Porém, a velocidade linear no extremo (\(v=\omega\cdot R\)) sobe para 112,7 km/h. Ora, tudo isto está bem pensado no filme: a atracagem da nave da (extinta) Pan American faz-se no eixo central da Estação a quase 0 km/h, mas tem de rodar à mesma velocidade angular de 3 rpm. É uma delícia. Reveja o filme em cima, com valsa de Johann Strauss. Note a baía de atracagem e como o “Star Wars” copiou a ideia muitos anos depois. Veja como as pessoas aparecem sentadas nas bases inferior e superior mas viradas para o eixo de rotação, devido à força centrípeta.

Outros filmes de ficção científica

Os filmes “The Martian” e “Interstellar“, ambos com o apoio de cientistas (NASA e Kip Thorne), têm naves que poderiam voar bem e dar apoio centrífugo aos humanos. Ideia igual é usada no “Elysium” onde uma enorme estação espacial é habitada por pessoas. Mas no 2001 a mesma estrutura aparece na nave Discovery One, que leva os astronautas Dr. David Bowman e Dr. Frank Poole em animação suspensa, mas numa estrutura circular que roda. Permite ao corpo passar anos no espaço, sem osteoporose e bons músculos.

David Bowman treina os músculos, no jogging em redor da Discovery One, a caminho de Júpiter.

Ficam de fora as naves doutros filmes de Sci-fi pois não há máquinas para “liga a gravidade que queremos estar em pé“. Para isso só há massa e a das naves é irrisória.

O HAL 9000

Na viagem a Júpiter na senda do Monólito descoberto na Lua, que traz inteligência aos seres, cria-se um confronto entre humanos e máquina. É um dos tópicos centrais do 2001. A humanidade e retidão, ou não, da Inteligência Artificial aqui envolvida não podia ser mais premente agora (como tem sido) do que foi em 1968, quando a IBM dominava o mundo todo com os seus computadores, mas a capacidade cibernética era bem limitada.

Não perca o próximo episódio, que eu também não.  Só não sei é quando vou escrevê-lo.

A Terra Plana e a reentrada dum satélite

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Todos sabemos que a Terra é Plana e por isso decidi calcular a reentrada dum satélite na sua atmosfera. A 2 de Abril (2018) a 1a Estação Orbital do Programa Espacial Chinês (Tiangong 1) entrou na atmosfera num fenómeno rápido e muito luminoso, depois de se  perder o controlo (quebra de comunicações) da sua trajectória usando os propulsores.

A densidade da massa ρ em função da altitude h (km).

Todos os satélites em Órbita Terrestre Baixa (Low Earth Orbit) estão sujeitos à força de arrasto aerodinâmico, produzido pelo embate continuado na atmosfera terrestre, ainda que com baixa densidade \((kg/m^3)\) (Handbook of Geophysics, 1985). Por isso, a constante perda de energia cinética (por atrito de fluido) baixa-lhe a órbita, fazendo-o entrar numa zona mais densa do ar, que aumenta o atrito, perde-se ainda mais energia… e cai-nos na sopa!

Estas são as equações mais simples do movimento: O corpo entra na alta atmosfera com velocidade \(v_0\approx 8\ km/s\) de inclinação \(i\lesssim\rm 0^o\) à horizontal e sujeito a duas forças: a gravítica \(F_g\) que é sempre na vertical e a de atrito aerodinâmico \(F_{at}\) que é sempre contrária ao vetor velocidade. As expressões são: \(F_g=\frac{G\cdot M_T}{(R_T+h)^2}\) onde \(R_T\) e \(M_T\) são os valores do raio e massa da Terra, respectivamente, e \(h\) é a altitude do corpo. A força de atrito é \(F_{ar}=-\frac{1}{2}C_d A_e  \rho_{ar} v^2 \), onde \(C_d\approx 1,9\) é o coeficiente para choques, difusão e absorção das moléculas do ar e depende da forma do objeto (pode ser mais ou menos aerodinâmico); \(A_e\) é a secção reta (área) de embate no ar (\(=\pi R^2\) se for esférico) e \(\rho_{ar}\) é a densidade mássica do ar à altitude do corpo; Muito importante: \(F_{ar}\) aumenta com \(v^2\) do corpo. Para ter as equações do movimento divide as forças pela massa do corpo \(m_c\) e tem as acelerações respetivas. Depois, só falta integrar as equações com as condições iniciais e ver que trajetória segue até bater no chão. NOTA: a Terra é Plana (acredite).

O Aquecimento do Corpo na Reentrada

Calcula-se o aumento de temperatura \(d\ T_c\) no corpo que reentra considerando que: uma fração \(\Lambda\approx0,5\) da energia cinética \(\overset{.}{E_c}\) das moléculas que lhe embatem por segundo (na área de embate \(A_e\)) é transferida para o corpo. Mas ele radia calor em toda a superfície \(A_t\) pela Lei de Stefan Boltzmann, \(\epsilon\ A_t\ \sigma\ (T_c^4-T_{amb}^4)\), onde \(\epsilon\) é a emissividade do material. Sendo \(c\) o calor específico do satélite (\(J\cdot kg^{-1}.\rm^o\!C^{-1}\)), a equação da variação da temperatura é: \(m_c c \frac{d\ T_c}{d\ t}=\Lambda \overset{.}{E_c} – \epsilon\ A_t\ \sigma\ (T_c^4-T_{amb}^4)\)

A Terra Plana e as vacas esféricas

Todos sabemos que a Terra é Plana: tal observa-se quando se vai de avião, e é ver para crer! Quem duvida fique a saber que nas aulas, ao calcular o campo gravítico duma vaca (na Terra Plana) considera-se que é esférica, sem perda de exatidão. A cabeça e as patas são pequenos desvios à forma esférica. Como já o/a convenci disto… a Terra é Plana e o resultado destas equações e simplificações está no gráfico seguinte:

A reentrada quase que segue a parábola habitual duma queda livre (tracejado roxo), até cerca dos 80 km de altitude, quando surge a aceleração aerodinâmica \(a_{drag}\) de fricção (a cor verde e tracejado), devido à maior densidade atmosférica. A temperatura (a curva vermelha) sobe e atinge o máximo aos 50 km de altitude quando é máxima a quantidade de ar a bater-lhe por segundo. Como a velocidade diminui a partir daqui, leva à diminuição da temperatura apesar da densidade atmosférica ir aumentando. As altas temperaturas provocam ablação e fragmentação dos materiais, coisas que neste modelo físico não se consideraram. Note que desde os 25 km de altitude a queda é quase vertical.

Resultados: o tempo de queda é muito curto a comparar com a realidade. O que se passa é que a Terra deve ser esférica (algumas pessoas acreditam nisso, e bem) e a trajetória parabólica não existe mesmo na realidade: quando o satélite se aproxima da Terra, a curvatura desta mantém o satélite quase à mesma altura ao solo, levando-o a permanecer muito tempo na alta atmosfera e desgastando-o mais, quando ainda está a 90 km de altitude. É aí que começa o seu aquecimento e estas curvas alteram-se todas. Prova: neste modelo o satélite passa apenas 1 ou 2 minutos entre os 200 e os 160 km de altitude mas, na realidade, a Tiangong 1 demorou vários dias nesta zona.

Conclusões: 1) a Terra é esférica mas nas aulas fazemos contas como se fosse Plana e muita gente acredita nisso, havendo provas (erradamente, claro). 2) Faz falta um modelo de geometria esférica para estudar estas quedas, mas isso fica para os próximos episódios. 3) No modelo da Terra esférica (a realidade), as vacas são melhor descritas por cilindros semi-infinitos. Esta é a verdade… para quem sabe Física.

A Tiangong1 vai cair-lhe na sopa?

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Em Junho de 2016 o laboratório espacial chinês Tiangong 1 deixou de comunicar e, por isso, a agência espacial Chinesa ficou impossibilitada de controlar a atitude desta nave. Tem a massa de 8,5 toneladas, sem combustível fica-se pelas 7,5 ton, e andava pelos 350 a 400 km de altitude. Agora está em órbitas descendentes, de aproximação à Terra.

Altitude em função da data e previsão (a 31-mar) do dia da reentrada na atmosfera da Tiangong 1

A velocidade linear \(v\) (numa órbita circular) e a uma altitude \(h\) da superfície da Terra, é calculada como \(v=\sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T+h}}\) e o período orbital \(P=\frac{2\pi}{\sqrt{G\cdot M_T}}(R_T+h)^{3/2}\). Com os valores do raio \(R_T\) e massa \(M_T\) da Terra, deduz-se que para  \(h=190 \) km de altitude \(v\approx 28.040 \) km/h e  \(P\approx 88 \) minutos. No dia 30 março a altitude era de 189,5 km, anunciado pela agência China Manned Space.

A trajetória está num plano inclinado ao equador que faz a Tiangong atingir as latitudes de ±42,8°, locais onde a trajetória dura mais tempo. A ESA juntou estes dados e apresentou-os num mapa (imagem no cabeçalho) onde o gráfico à direita tem as probabilidades da sonda cair numa latitude de valor \(\varphi\).

A pergunta fundamental é: Será que vai cair-me no prato da sopa?

Probabilidade de queda da nave em função da Latitude

Retirei da imagem da ESA a probabilidade em função da latitude e depois normalizei-a a 100%, para a banda entre os ±42,8°. Depois calculei a probabilidade da nave cair entre paralelos de latitudes máxima (\(\small \varphi_{max}=41° 50’\)) e mínima (\(\varphi_{min}=37°\)), de Portugal continental e Açores, o que dá \(prob=9,38\)%. Mas isto é a probabilidade dela cair ao longo de toda a área entre estes paralelos.

Portugal é só uma pequena parte desta área. Calcula-se o valor duma área na superfície planetária, limitada pelas longitudes \(\lambda_{max}\) e \(\lambda_{min}\) e latitudes antes indicadas como: \(area=R_T^2 (\lambda_{max}-\lambda_{min})(\sin(\varphi_{max})-\sin(\varphi_{min}))\). Isto leva a que a área de Portugal continental (como ≈retângulo) seja de \(104.080\ km^2\) (por excesso) e a totalidade entre os nossos paralelos seja de \(1,6653\times 10^7\ km^2\). Assim, a probabilidade da nave cair em Portugal é apenas de \(9,38\times\frac{104.080}{1,6653\times10^7}=0,059\) %.

Resumindo: não, não vai cair-lhe a na sopa… a menos que tenha muito azar. Boa sorte!